점과 직선사이의 거리

 점과 직선사이의 거리 공식은 고등학교 수학I에서 등장하며 모의고사에서도 자주 요구됩니다. 이 글에서는 점과 직선사이 거리 공식의 유도를 설명합니다.

 유도 방법은 여러가지가 있겠지만, 두가지 방법을 소개하도록 하겠습니다. 첫번째 방법은 수선의 방정식을 구해 직선과 연립하는 평범한 방식이고, 둘째 방법은 미적분과 벡터를 사용해 더욱 깔끔하게 증명할 수 있는 방식입니다. 이 중 둘째 방식은 고1 수준에서 이해하기는 어려울지 모르지만,(사실 고등학교 과정을 완전히 벗어난것 같기는 한데 충분히 이해가능한 내용입니다.) 훨씬 아름답고 직관적이며 절대 잊지 않을만한 방법이라고 감히 말할 수 있겠습니다. 유도 과정도 간단해서 시험시간에 직접 유도해 사용하는 것이 가능한 정도입니다.

 굳이 쓰게된 계기를 설명해 보자면 제가 고등학생임에도 이런 간단한 공식을 안쓰다 보니 자주 까먹어서, 보다 상위의 수학을 도입해 간단히 설명할 수 있지 않을까 싶어 찾은 방법입니다.

1. 수선을 이용한 유도

직선의 방정식을 $ax+by+c=0$

점의 좌표를 $(x_1, y_1)$ 이라고 합시다.

먼저 수선의 방정식을 구해보면

$b(x-x_1)-a(y-y_1)=0$ 입니다.

이는 기울기의 곱이 $-1$ 이고, $(x_1,y_1)$을 지나는 사실로부터 간단히 이끌어낼 수 있습니다.

이를 원래 방정식과 두번 연립해 각각 $x$, 와 $y$를 소거 시키겠습니다.

$\begin{array}{ll} \left(b + \displaystyle \frac a b^2 \right)y + c + \displaystyle \frac a b (bx_1 - ay_1) &=& 0\\ \left(a + \displaystyle \frac b a^2 \right)x + c - \displaystyle \frac b a (bx_1 - ay_1) &=& 0 \end{array}$

식을 적절히 변형시키면

$\begin{array}{ll} \left(a^2 + b^2\right)\left(y-y_1\right) &=& -b(ax_1 + by_1 + c) \\ \left(a^2 + b^2\right)\left(x-x_1\right) &=& -a(ax_1 + by_1 + c) \end{array}$

거리는

$d = \sqrt{\left(x-x_1\right)^2 + \left(y-y_1\right)^2} = \displaystyle \frac {\left| ax_1+by_1+c\right|} {\sqrt{a^2+b^2}}$

2. 미적분과 벡터를 사용한 유도

이번에는 직선의 방정식에 대해 조금 더 생각해 보도록 합시다.

직선의 방정식은 다음과 같이도 쓸 수 있습니다.

$$f(x,y)=ax+by+c \\ f(x,y) = 0$$

그런데

$$z=f(x,y)$$

는 3차원 공간에서 평면의 방정식입니다.

즉 직선의 방정식은 어떤 평면의 방정식과 $z=0$ 인 $xy$평면의 교선입니다.

그렇다면 $f(x_1,y_1)$은 어떤의미를 가질까요?

이는 $(x_1,y_1)$에서 평면의 $z$값입니다. 우리는 이를 이용해 공식을 유도할 것입니다.

가장 먼저 알아야 할 사실은 $P=(x_1,y_1,0)$와 $P$에서 직선에 내린 수선의 발 $H$, 그리고 $Q=\left(x_1,y_1,f(x_1,y_1)\right)$이 직각삼각형을 이룬다는 것입니다.

$H$와 $P$는 $xy$평면에 있고 $Q$는 $P$에서 수직으로 올라간 방향에 있으니 당연한 일입니다.

따라서 우리가 구해야 하는 거리 $d=\overline{HP}$ 이므로 $\overline{PQ}$와 기울기 $\displaystyle \frac {\overline{HP}} {\overline{PQ}}$를 알면 간단히 구할 수 있습니다.

당연히 $\overline{PQ} = \left|f(x_1,y_1)\right|$입니다.

하지만 기울기는 어떻게 구해야 할까요? 여기서 우리는 미분을 사용할 것입니다. 미분을 사용할 수 있는 이유는 우리가 다루고 있는 도형이 평면이기 때문입니다. 그래서 평균 기울기가 곧 미분이 되지요. 구체적으로 어떤 미분이냐 하면, "함숫값의 증가량 / 직선에 수직한 방향으로 이동한 거리"입니다.

* 여기와 밑에서 말하는 "직선"은 모두 $f(x,y)=0$을 뜻합니다.

미분을 하기위해 먼저 다음의 조건을 만족하는 평면상의 점을 매개변수화 합니다.

(1) $t$가 증가함에 따라 점은 직선에 수직한 방향으로 이동

(2) 매개변수 값과 이동한 거리가 같다.

(1)을 만족하는 직선에 수직한 벡터는 $(kat, kbt,0)$ 꼴이 되는데, 이는 벡터의 내적을 이용하면 간단히 설명 가능합니다.

함수 $f$를 다음과 같이 변형하면

$f(x,y)=ax+by+c=(a,b) \cdot (x,y) + c$

여기서 $(x,y)$가 $(a,b)$에 수직한 방향으로 이동한다면 $f(x,y)$는 변하지 않겠지요(수직한 벡터간에 내적은 0이므로). 즉 $(a,b)$에 수직한 방향이 직선의 방향이고, 다시말해 $(a,b)$의 방향이 직선에 수직한 방향이라는 뜻이 됩니다.

(2)조건은 $\left|(kat,kbt)\right| = k\sqrt{a^2+b^2}t = t$ 로 부터 $k=\sqrt{a^2+b^2}^{-1}$ 임을 찾을 수 있습니다.

결과를 종합하면 매개화된 점의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} t, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} t \right)$ 가 되겠죠.

이제 함숫값을 미분합니다.

$\displaystyle \frac{\mathrm d}{\mathrm d t} f\displaystyle \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} t, \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} t \right) = \sqrt{a^2+b^2}$

여기서 어느점에서 미분하나 모두 상수가 되는것을 확인할 수 있습니다. 이 또한 도형이 평면이기 때문이죠.

이제 거리를 구해보면

$d = \displaystyle \frac{\left|f(x_1,y_1)\right|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \displaystyle \frac {\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

개념적으로 좀 복잡할지 모르겠지만 핵심만 설명하자면

(1) 직선의 방정식을 함수로 확장해서 보자.

(2) $ax+by+c=0$과 $(a,b)$는 수직하다.

위로부터 간단히 얻어지는 결론입니다. 실제 수식을 쓰는것은 마지막 두줄만 있어도 충분하죠.

이 방법의 멋진 점은 점과 직선사이의 거리 공식에 도대체 왜 $ax+by+c$가 들어가는지 명쾌하게 설명해준다는 점입니다. 혹시 본인이 단순히 공식 외우기에 질린 학생이라면 이런 방법을 배우면서 수학의 아름다움을 느끼시기 바랍니다!