변분법 유도(Euler-Lagrange Equation)

 오일러 라그랑주 방정식의 유도는 그리 어렵지 않습니다. 부분적분만 알면 이해할 수 있죠.

 게다가 매우 유용합니다. 여러 물리 문제가 변분법 형태의 방정식을 주고, 라그랑주 역학에서는 뉴턴법칙을 대체할 수도 있습니다.

 변분법(Calculus of Variations) 에서 다루는 문제는 기본적으로 다음을 구하는것입니다.

 범함수 $J[y]$가 극값을 가지게 만드는 함수 $y(x)$

 이 문제에 대한 해답이 바로 오일러 라그랑주 방정식이 됩니다.

 유도 과정은 위키피디아 등에도 있지만, 저는 다변수 미분과 변분법을 비교해 보도록 하겠습니다.

 먼저 다변수실함수를 봅시다.

$$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$

 변분법에서 다루는 대상인 범함수는 다음과 같습니다.

$$J : \mathbb{R}^{[a,b]} \to \mathbb{R}$$

$\mathbb{R}^\mathbb{R}$ 는 함수공간으로, 실함수들의 집합을 뜻합니다. (사실 뒤로 가면 문제가 생기는데, 실함수 공간은 당연히 아니고 미분 가능성이나 적분이 잘 되는가 등등 따져야 할것은 많지만 그냥 넘어가도록 하겠습니다.)

 이 둘의 공통점은 정의역이 vector space를 이루는 것과 공역이 실수인것을 들 수 있겠죠.

 일단 다변수실함수의 미분을 봅시다.

 다변수실함수의 방향미분의 정의는 다음과 같습니다.

$$\nabla _\mathbf u f(\mathbf x) = \underset{h \to 0}{\lim} {f(\mathbf x + h\mathbf u) - f(\mathbf x) \over h}$$

 방향미분이 의미하는 바는 정의역에서 $\mathbf u$방향으로 이동한 정도에 따라 함숫값이 변하는 정도입니다.

 그리고 gradient의 정의는 편미분을 이용하지만, 방향미분과는 다음과 같은 관계가 있습니다.

$$\nabla _\mathbf u f = \mathbf u \cdot \nabla f$$

 즉 내적이죠.

 범함수의 차원은 무한대이기 때문에 편미분을 이용해서 정의하기에는 좀 힘듭니다. 하지만 방향미분은 다변수실함수와 똑같이 정의할 수 있습니다.

$$\nabla _\eta J[y] = \underset{h \to 0}{\lim} {J[y + h\mathbf \eta] - J[y] \over h}$$

 $\eta$는 당연히 실함수입니다.

 마찬가지로 gradient는 다음 등식을 만족하는 함수로 정의하면 되겠지요. (물론 존재성은 보장되지 않습니다. 유일성은 보장되지만요.)

$$\nabla J : \mathbb R ^ {[a,b]} \to \mathbb R ^ {[a,b]} $$

$$\nabla _\eta J = \left\langle \eta, \nabla J \right \rangle$$

 * $\nabla$를 범함수에 사용하는 표기는 제가 맘대로 썼습니다만, 제가 아는바로 수학교재들은 이런 표기를 사용하지 않습니다.

 꺽쇠 괄호는 당연히 내적을 말합니다. 문제는 내적을 어떻게 정의할까입니다. 내적의 정의에 따라 gradient도 달라지겠죠. 보통 함수공간에서 내적은 다음과 같이 정의합니다.

$$\left \langle f, g \right \rangle = \int _a ^b f(x)g(x) \mathrm d x$$

 그럼 이제 gradient를 직접 구해봅시다. 물론 임의의 경우에 대해 구할수는 없고, 물리학에서 자주 보이는 다음의 범함수에 대해서 문제를 풀어보도록 하겠습니다.

$$J[y] = \int _a ^b f(x, y(x), y'(x))\mathrm d x$$

 단, 여기서 $y(a), y(b)$는 결정된 값이여야 합니다. (경계값 문제죠)

 먼저 변수를 다음과 같이 정의합니다.

$$\tilde y = y + h\eta$$

$y(a), y(b)$값은 결정되어 있으므로 $\eta(a) = \eta(b) = 0$ 이라 하겠습니다.

 그리고 방향미분은 다음처럼 쓸 수 있습니다.

$$ \nabla _\eta J[y] = \left . {\mathrm d \over \mathrm d h} J[\tilde y] \right |_{h=0} $$

 미분을 정리하면...

$$ \begin{array}{lcl} \displaystyle {\mathrm d \over \mathrm d h} J[\tilde y] & = & \displaystyle {\mathrm d \over \mathrm d h} \int_a^b f(x,\tilde y(x),\tilde y'(x) \mathrm d x \\ & = & \displaystyle \int_a^b \left [ {\partial f \over \partial x} {\mathrm d x \over \mathrm d h} + {\partial f \over \partial \tilde y} {\mathrm d \tilde y \over \mathrm d h} + {\partial f \over \partial \tilde y'} {\mathrm d \tilde y' \over \mathrm d h} \right ] \mathrm d x  \\ & = & \displaystyle \int_a^b \left [ \eta(x) {\partial f \over \partial \tilde y} + \eta ' (x) {\partial f \over \partial \tilde y'} \right ] \mathrm d x \\ & = & \displaystyle \int_a^b \left [ \eta(x) {\partial f \over \partial \tilde y} - \eta(x) {\mathrm d \over \mathrm d x}{\partial f \over \partial \tilde y'} \right ] \mathrm d x + \left . \eta(x) {\partial f \over \partial \tilde y '} \right | _a^b  \\ & = & \displaystyle \int_a^b \left [ {\partial f \over \partial \tilde y} - {\mathrm d \over \mathrm d x}{\partial f \over \partial \tilde y'} \right ] \eta(x) \mathrm d x \end{array} $$

 이를 방향미분 식에 대입해 $\nabla J$를 얻습니다.

$$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \nabla _\eta J[y] & = & \displaystyle \left . \int_a^b \left [ {\partial f \over \partial \tilde y} - {\mathrm d \over \mathrm d x}{\partial f \over \partial \tilde y'} \right ] \eta(x) \mathrm d x \right |_{h=0} \\ & = & \displaystyle \int_a^b \left [ {\partial f \over \partial y} - {\mathrm d \over \mathrm d x}{\partial f \over \partial y'} \right ] \eta(x) \mathrm d x \\ & = & \displaystyle \int_a^b \eta(x) \nabla J[y](x) dx \end{array} $$

$$ \therefore \nabla J = {\partial f \over \partial y} - {\mathrm d \over \mathrm d x}{\partial f \over \partial y'} $$

 그럼 드디어 변분법 문제에 대한 해답을 얻을 수 있습니다.

 $J$가 $y$에서 극값을 가지기 위해서는 임의의 $\eta$에 대해 $\nabla_\eta J[y] = 0$ 이어야 합니다.

 또 임의의 $\eta$에 대해 $\nabla_\eta J[y] = 0$이기 위해서는 모든 점에서 $\nabla J[y] = 0$를 만족해야 합니다. 즉, 다음의 미분방정식을 만족합니다.

$${\partial f \over \partial y} - {\mathrm d \over \mathrm d x}{\partial f \over \partial y'} = 0$$

 이 방정식을 Euler-Lagrange 방정식이라 부릅니다.

 다음에는 이 방정식의 변형에 대해 써보도록 하겠습니다.